Lời giải:
Ta có:
\(f(x^2-2)=f^2(x)-2\)
\(\Leftrightarrow a(x^2-2)^2+b(x^2-2)+c=(ax^2+bx+c)^2-2\)
\(\Leftrightarrow ax^4+x^2(-4a+b)+4a-2b+c=a^2x^4+2abx^3+x^2(b^2+2ac)+2bcx+c^2-2\)
Đồng nhất hệ số:
\(\left\{\begin{matrix} a=a^2(1)\\ 2ab=0(2)\\ -4a+b=b^2+2ac(3)\\ 2bc=0(4)\\ 4a-2b+c=c^2-2(5)\end{matrix}\right.\)
\((1)\Rightarrow a=0\) hoặc \(a=1\)
\(\bullet \)Nếu \(a=1\) thì từ (2) suy ra \(b=0\)
\(f(x)=ax^2+c\)\(\Rightarrow f(-x)=a(-x)^2+c=ax^2+c\)
\(\Leftrightarrow f(x)=f(-x)\) nên hàm là hàm chẵn. (đpcm)
\(\bullet \) \(a=0\)
Từ (3) suy ra \(b^2=b\) nên $b=0$ hoặc $b=1$
Nếu \(b=1\rightarrow \) từ (4) suy ra $c=0$. Thử lại vào (5) thấy thỏa mãn
Vậy \(f(x)=x\), đây không phải hàm chẵn, bài toán chưa chính xác.
