Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thái Quân

Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm trên R thỏa: \(\left(x+2\right)f\left(x\right)+\left(x+1\right)f'\left(x\right)=e^x\)\(f\left(0\right)=\frac{1}{2}\). Tính \(f\left(2\right)\).

A. \(\frac{e}{3}\)

B. \(\frac{e}{6}\)

C. \(\frac{e^2}{3}\)

D. \(\frac{e^2}{6}\)

Nguyễn Việt Lâm
21 tháng 3 2019 lúc 11:42

Nhìn 2 vế của hàm số thì có vẻ ta cần phân tích biểu thức vế trái về dạng \(\left[f\left(x\right).u\left(x\right)\right]'=f\left(x\right).u'\left(x\right)+u\left(x\right).f'\left(x\right)\), ta cần tìm thằng \(u\left(x\right)\) này

Biến đổi 1 chút xíu: \(\frac{\left[f\left(x\right).u\left(x\right)\right]'}{u\left(x\right)}=\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}f\left(x\right)+f'\left(x\right)\) (1) hay vào bài toán:

\(\left(\frac{x+2}{x+1}\right)f\left(x\right)+f'\left(x\right)=\frac{e^x}{x+1}\) (2)

Nhìn (1) và (2) thì rõ ràng ta thấy \(\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(ln\left(u\left(x\right)\right)=\int\left(1+\frac{1}{x+1}\right)dx=x+ln\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow u\left(x\right)=e^{x+ln\left(x+1\right)}=e^x.e^{ln\left(x+1\right)}=e^x.\left(x+1\right)\)

Vậy ta đã tìm xong hàm \(u\left(x\right)\)

Vế trái bây giờ cần biến đổi về dạng:

\(\left[f\left(x\right).e^x\left(x+1\right)\right]'=e^x\left(x+2\right).f\left(x\right)+f'\left(x\right).e^x\left(x+1\right).f'\left(x\right)\)

Để tạo thành điều này, ta cần nhân \(e^x\) vào 2 vế của biểu thức ban đầu:

\(e^x\left(x+2\right)f\left(x\right)+e^x\left(x+1\right)f'\left(x\right)=e^{2x}\)

\(\Leftrightarrow\left[f\left(x\right).e^x.\left(x+1\right)\right]'=e^{2x}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(f\left(x\right).e^x\left(x+1\right)=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C\)

Do \(f\left(0\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left(0\right).e^0=\frac{1}{2}e^0+C\Rightarrow C=0\)

Vậy \(f\left(x\right).e^x\left(x+1\right)=\frac{1}{2}e^{2x}\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}\frac{e^{2x}}{e^x\left(x+1\right)}=\frac{e^x}{2\left(x+1\right)}\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{e^2}{2\left(2+1\right)}=\frac{e^2}{6}\)


Các câu hỏi tương tự
Tô Cường
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
haudreywilliam
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
Tô Cường
Xem chi tiết
Kim Anh Võ
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết
haudreywilliam
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết