Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2x}&{khi\,\,x \le - 1}\\{{x^2} + 2}&{khi\,\,x > - 1}\end{array}} \right.\).
Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)\) (nếu có).
a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì, \({x_n} > - 1\) và \({x_n} \to - 1\). Khi đó \(f\left( {{x_n}} \right) = x_n^2 + 2\)
Ta có: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^2 + 2} \right) = \lim x_n^2 + \lim 2 = {\left( { - 1} \right)^2} + 2 = 3\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = 3\).
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì, \({x_n} < - 1\) và \({x_n} \to - 1\). Khi đó \(f\left( {{x_n}} \right) = 1 - 2{x_n}\).
Ta có: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {1 - 2{x_n}} \right) = \lim 1 - \lim \left( {2{x_n}} \right) = \lim 1 - 2\lim {x_n} = 1 - 2.\left( { - 1} \right) = 3\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = 3\).
b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right) = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = 3\).