Question

Cho hai số x,y thỏa mãn ax+by=c; bx+cy=a; cx+ay=b. Chứng minh a³+b³+c³=3abc.

Answer 1

Lời giải:

\(\left\{\begin{matrix} ax+by=c\\ bx+cy=a\\ cx+ay=b\end{matrix}\right.\Rightarrow ax+by+bx+cy+cx+ay=c+a+b\)

\(\Rightarrow x(a+b+c)+y(a+b+c)=a+b+c\)

\(\Rightarrow (x+y-1)(a+b+c)=0\)

Vì $x,y$ luôn thỏa mãn nên \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow a+b=-c\)

Khi đó:

\(a^3+b^3+c^3=a^3+3ab(a+b)+b^3-3ab(a+b)+c^3\)

\(=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc\)

Ta có đpcm.