Question

Cho hai số tự nhiên a,b nguyên tố cùng nhau.Tìm ƯCLN(a²+b²;ab)

MỌI NG GIẢI GIÚP MIK VS,MIK ĐANG CẦN GẤP

Answer 1

Ta cần tìm ƯCLN của a2+b2a^2 + b^2a2+b2 và ababab, trong đó a,ba, ba,b là hai số nguyên tố cùng nhau (tức là gcd⁡(a,b)=1\gcd(a, b) = 1gcd(a,b)=1).

Bước 1: Ký hiệu và đặt bài toán

Gọi d=gcd⁡(a2+b2,ab)d = \gcd(a^2 + b^2, ab)d=gcd(a2+b2,ab), ta cần tìm ddd.

Do ddd chia hết ababab, tức là d∣abd \mid abd∣ab, nên ddd chỉ có thể là ước của tích ababab. Hơn nữa, ta có:

d∣(a2+b2)d \mid (a^2 + b^2)d∣(a2+b2) d∣abd \mid abd∣ab

Bước 2: Chứng minh d=1d = 1d=1 hoặc d=2d = 2d=2

Trường hợp 1: Cả hai số a,ba, ba,b đều lẻ
Khi đó, a2≡1(mod2)a^2 \equiv 1 \pmod{2}a2≡1(mod2) và b2≡1(mod2)b^2 \equiv 1 \pmod{2}b2≡1(mod2), nên:

a2+b2≡1+1=2(mod2)a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 = 2 \pmod{2}a2+b2≡1+1=2(mod2)

Do đó, ƯCLN của a2+b2a^2 + b^2a2+b2 và ababab là 1 vì ababab lẻ.

Trường hợp 2: Một trong hai số là chẵn (tức là một số bằng 2, số còn lại lẻ)
Giả sử a=2a = 2a=2, bbb lẻ (vì nếu cả hai đều chẵn thì không nguyên tố cùng nhau).

a2+b2=4+b2a^2 + b^2 = 4 + b^2a2+b2=4+b2

Vì bbb lẻ nên b2≡1(mod4)b^2 \equiv 1 \pmod{4}b2≡1(mod4) ⇒a2+b2≡4+1=5(mod4)\Rightarrow a^2 + b^2 \equiv 4 + 1 = 5 \pmod{4}⇒a2+b2≡4+1=5(mod4).
Mặt khác, ab=2bab = 2bab=2b là chẵn.

Do đó, ƯCLN của a2+b2a^2 + b^2a2+b2 và ababab là 2. LƯU Ý MOD LÀ PHÉP CHIA LẤY DƯ NHÉ