cho hai đường tròn (O)và(O') giao nhau tại A và B .Kẻ các đường kính AOC vad AO'D.các đưởng thẳng AC và AD lần lượt cắt đường tròn (O') tại E và dường tròn (O) tại M . các đường thẳng CM và DE giao nhau tại H . chứng minh rằng
a, tứ giác CDEM nội tiếp đường tròn
b, HE.HD=HM.HC
c, ba điểm H,A,B thẳng hàng
a: Xét (O) có
ΔAMC nội tiếp
AC là đường kính
=>ΔAMC vuông tại M
=>CM vuông góc AD
Xét (O') có
ΔAED nội tiếp
AD là đường kính
=>ΔAED vuông tại E
=>DE vuông góc AC
Xét tứ giác CEMD có
góc CED=góc CMD=90 độ
nên CEMD là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔHEC vuông tại E và ΔHMD vuông tại M có
góc EHC=góc MHD
=>ΔHEC đồng dạng với ΔHMD
=>HE/HM=HC/HD
=>HE*HD=HM*HC
c: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
AC là đường kính
=>ΔABC vuông tại B
Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
=>ΔABD vuông tại B
góc CBD=gócc CBA+góc DBA=90+90=180 độ
=>C,B,D thẳng hàng
=>AB vuông góc CD
Xét ΔACD có
CM,DE là đường cao
CM cắt DE tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc CD
=>A,H,B thẳng hàng
