Question

Cho hai đường thẳng: (d₁): \(mx+\left(m-2\right)y+m+2=0\)và (d₂): \(\left(2-m\right)x+my-m-2=0\).

a) Tìm điểm cố định mà luôn đi qua và điểm cố định mà luôn đi qua với mọi m

b) Chứng minh hai đường thẳng , luôn cắt nhau tại một điểm I và khi m thay đổi thì điểm I luôn thuộc một đường tròn cố định.

Answer 1

Lời giải:
a)

Gọi $(x_0, y_0)$ là điểm cố định mà $(d_1)$ với mọi $m$

Khi đó:

$mx_0+(m-2)y_0+m+2=0$ với mọi $m$

$\Leftrightarrow m(x_0+y_0+1)+(2-2y_0)=0$ với mọi $m$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0+y_0+1=0\\ 2-2y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y_0=1\\ x_0=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy điểm cố định mà $(d_1)$ luôn đi qua với mọi $m$ là $(-2,1)$

-----------------

Gọi điểm cố định mà $(d_2)$ luôn đi qua với mọi $m$ là $(x_0,y_0)$

Ta có:

$(2-m)x_0+my_0-m-2=0$ với mọi $m$

$\Leftrightarrow m(y_0-x_0-1)+(2x_0-2)=0$ với mọi $m$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_0-x_0-1=0\\ 2x_0-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=1\\ y_0=2\end{matrix}\right.\)

Vậy điểm cố định cần tìm là $(1,2)$

b) Gọi $I(a,b)$ là giao điểm của $(d_1); (d_2)$

Ta có:

$ma+(m-2)b+m+2=0(1)$

$(2-m)a+mb-m-2=0(2)$

Lấy $(1)+(2)\Rightarrow a+(m-1)b=0$

Lấy $(1)-(2)\Rightarrow (m-1)a-b+m+2=0$

Từ 2 PT trên ta dễ dàng suy ra $b=\frac{m+2}{(m-1)^2+1}; a=\frac{(m+2)(1-m)}{(m-1)^2+1}$

Bằng khai triển ta thấy:

\((\frac{(m+2)(1-m)}{(m-1)^2+1}+\frac{1}{2})^2+(\frac{m+2}{(m-1)^2+1}-\frac{3}{2})^2=\frac{5}{2}\) là hằng số

Do đó điểm $I$ luôn thuộc đường tròn tâm $(\frac{-1}{2}; \frac{3}{2})$ bán kính $\sqrt{\frac{5}{2}}$ là đường tròn cố định.