Question

Cho góc tam diện vuông Oxyz đỉnh O . Lấy A ; B ; C lần lượt trên Ox ; Oy ; Oz sao cho : OA + OB + OC + AB + BC + AC = l ; ở đây l là số dương cho trước 

Xác định vị trí các điểm A ; B ; C sao cho thể tích tứ diện OABC đạt max . Hãy tính max ? 

Answer 1

2

Answer 2

Đặt OA = a ; OB = b ; OC = c . Khi đó : 

\(OA+OB+OC+AB+BC+AC=a+b+c+\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2}\)

AD BĐT Cauchy ta được : \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2}\ge\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)

Suy ra : l \(\ge\left(\sqrt{2}+1\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(\sqrt{2}+1\right)3\sqrt[3]{abc}\)

Có : \(V=V_{OABC}=\dfrac{abc}{6}\)  . Suy ra :   \(l\ge3\left(\sqrt{2}+1\right)\sqrt[3]{6V}\Leftrightarrow V\le\dfrac{l^3}{27\left(\sqrt{2}+1\right)^3.6}=\dfrac{l^3}{162\left(\sqrt{2}+1\right)^3}\)

" = " \(\Leftrightarrow a=b=c\) = \(\dfrac{l\left(\sqrt{2}-1\right)}{3}\)