Cho góc nhọn x0y. Trên 2 cạnh 0x và 0y lần lượt lấy 2 điểm A và B sao cho OA=OB. Tia phân giác của góc x0y cắt AB tại I.
a, Chứng minh OI vuông góc AB
b, Gọi D là hình chiếu của điểm A trên 0y. C là giao điểm của AD với OI. Chứng minh: BC vuông góc 0x
c, Giả sử góc x0y = 60 độ, OA=OB= 6cm. Tính độ dài đoạn thẳng OC
HELP ME 
a, Xét tam giác OIA và tam giác OIB ta có:
OA=OB(gt); góc AOI=góc BOI(gt); OI:chung
Do đó tam giác OIA= tam giác OIB(c.g.c)
=> góc OIA=góc OIB(cặp góc tương ứng);AI=BI(cặp cạnh tương ứng)
mà góc OIA+góc OIB=180 độ
=> góc OIA=góc OIB=90độ
\(\Rightarrow OI\perp AB\)(đpcm)
b, Xét tam giác ABO ta có:
\(AD\perp OB;OI\perp AB\)
mà \(AD\cap OI=\left\{C\right\}\)
nên C là trực tâm của tam giác ABO
=> BC là đường cao của OA hay BC là đường cao của Ox(đpcm)
c, Vì góc xOy=60 độ và OA=OB nên tam giác ABO đều.
Mặc khác OI là đường cao và C là trực tâm của tam giác AOB nên OI đồng thời là đường trung tuyến của cạnh AB và C đồng thời là trọng tâm của tam giác AOB.
\(\Rightarrow AI=BI=\dfrac{AB}{2};OC=\dfrac{2}{3}OI\) (theo tính chất trọng tâm của tam giác)
mà \(OB=OA=AB=6\left(cm\right)\) nên \(AI=\dfrac{6}{2}=3\left(cm\right)\)
Ta có: \(BI^2+OI^2=OB^2\)
\(\Rightarrow OI^2=OB^2-BI^2=6^2-3^2=36-9=27=\left(\sqrt{27}\right)^2\)
\(\Rightarrow OI=\sqrt{27}\)
mà \(OC=\dfrac{2}{3}OI\) nên \(OC=\dfrac{2}{3}.\sqrt{27}\)
Vậy \(OC=\dfrac{2}{3}.\sqrt{27}\)
Chúc bạn học tốt!!!
Hình vẽ:
a/ Xét \(\Delta OAIvà\Delta OBI\) có:
OI: chung
\(\widehat{AOI}=\widehat{BOI}\left(gt\right)\)
OA = OB (gt)
=> \(\Delta OAI=\Delta OBI\left(cgc\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AIO}=\widehat{BIO}\)
mà \(\widehat{AIO}+\widehat{BIO}=180^o\) (kề bù)
=> \(\widehat{AIO}=\widehat{BIO}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
=> OI _l_ AB (đpcm)
b/ Xét ΔOAB có:
OI _l_ AB (ý a) ; AD _l_ OB (gt)
mà OI \(\cap AD=C\)
=> C là trực tâm của ΔOAB
=> BC _l_ OA (đpcm)
c/ Có: \(\widehat{xOy}=60^o\) mà OA = OB (gt)
=> \(\Delta OAB\) đều => OA = OB = AB = 6cm
Vì \(\Delta OAI=\Delta OBI\) (đã cm)
=> AI = BI = \(\dfrac{AB}{2}=\dfrac{6}{2}=3\left(cm\right)\)
Áp dụng đl Pytago vào ΔOAI vuông tại I có:
OA2 = OI2 + AI2
hay 62 = OI2 + 32
=> \(OI^2=6^2-3^2=27\)
=> \(OI=\sqrt{27}\) (cm)
mà AI = BI => OI là trung tuyến của cạnh AB trong ΔOAB
=> OC = \(\dfrac{1}{3}OI=\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3}\left(cm\right)\)
Vậy..................
