Question

Cho $f(x)=ax^2+bx+c>0$ với mọi $x$ và $a,b,c>0; b\neq 1$

CMR:

$\frac{3350a+1340c+4ac+2b+1}{b}>2014$

Giúp mình với ạ !

Answer 1

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

Câu hỏi của Linh nè - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Answer 2

Ta có \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c>0\forall x\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right)>0\Rightarrow4a-2b+c>0\Rightarrow4a+c>2b\)(*)

Ta có f(x)=ax²+bx+c >0 với mọi x

=> f(-1) >0 => a-b+c>0 => a+c >b (**)

Từ (*) (**) => 5a+2c > 3b => \(\frac{5a+2c}{b}>3\left(b>0\right)\)

\(\Rightarrow\frac{3350a+1340c}{b}>2010\)(***)

Mặt khác ta lại có:

f(x)=ax²+bx+c>0 với mọi x

=> b²<4ac (vì a>0) => 4ac>b²

\(\Leftrightarrow\frac{4ac}{b}>b\Leftrightarrow\frac{4ac}{b}+\frac{1}{b}>b+\frac{1}{b}\ge2\)(Theo BĐT Cosi), mà 0<b\(\ne\)1

=> \(\frac{4ac}{b}+\frac{1}{b}>2\)(****)

Từ (***)(****) \(\Rightarrow\frac{3350+1340c}{b}+\frac{4ac+1}{b}>2012\)

\(\Leftrightarrow\frac{3350+1340c+4ac+2b+1}{b}>2014\left(đpcm\right)\)