Question

Cho f(x) =\(ax^3+bx^2+cx+d\) trong đó a,b,c,d\(\in\) Z và thỏa mãn b=3a+c

CMR: f(1).f(-2) là bình phương của một số nguyên

 Giúp

Answer 1

Ta có: 

f(1).f(-2)=(a+b+c+d)(-8a+4b-2c+d)

Mà b=3a+c nên:

f(1).f(-2)=(a+3a+c+c+d)[-8a+4.(3a+c)-2c+d]

=(4a+2c+d)(-8a+12a+4c-2c+d)

=(4a+2c+d)(4a+2c+d)

=(4a+2c+d)²

Mà a,c,d nguyên nên:

f(1).f(2) chính là bình phương của 1 số nguyên

Answer 2

Ta có:

f(1)=a.1³+b.1²+c.1+d=a+b+c+d(2)

f(-2)=a.(-2)³+b.(-2)²+c.(-2)+d=-8a+4b-2c+d(2)

Lấy (2)-(1), vế theo vế ta đc:

f(-2)-f(1)=(-8a+4b-2c+d)-(a+b+c+d)

=-8a+4b-2c+d-a-b-c-d=(-8a-a)+(4b-b)+(-2c-c)+(d-d)=-9a+3b-3c

=3.(-3a+b-c)=3.(-3a+3a+c-c)=3.0=0

=>f(-2)-f(1)=0=>f(-2)=f(1)

=>f(-2).f(1)=f(1).f(1)=[f(1)]²=(a+b+c+d)²

=>đpcm