Bài 2: Tích phân

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Truongduy

Cho f(x) +2f'(x) + f"(x) =x^3 + 2x^2 . biết f(0)=f'(0)=1 . tính tích phân cận 0 đến 1 của f(x)

Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 6 2019 lúc 15:33

\(f\left(x\right)+2f'\left(x\right)+f''\left(x\right)=x^3+2x^2\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)+f'\left(x\right)+f'\left(x\right)+f''\left(x\right)=x^3+2x^2\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)+f'\left(x\right)+\left[f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right]'=x^3+2x^2\)

Đặt \(f\left(x\right)+f'\left(x\right)=u\left(x\right)\) ta được:

\(u\left(x\right)+u'\left(x\right)=x^3+2x^2\)

\(\Leftrightarrow e^x.u\left(x\right)+e^x.u'\left(x\right)=e^x\left(x^3+2x^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[e^x.u\left(x\right)\right]'=e^x\left(x^3+2x^2\right)\)

\(\Rightarrow e^x.u\left(x\right)=\int e^x\left(x^3+2x^2\right)dx=e^x\left(x^3-x^2+2x-2\right)+C\)

\(\Leftrightarrow e^x\left[f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right]=e^x\left(x^3-x^2+2x-2\right)+C\)

Thay \(x=0\) vào ta được \(2=-2+C\Rightarrow C=4\)

\(\Rightarrow e^x.f\left(x\right)+e^x.f'\left(x\right)=e^x\left(x^3-x^2+2x-2\right)+4\)

\(\Leftrightarrow\left[e^x.f\left(x\right)\right]'=e^x\left(x^3-x^2+2x-2\right)+4\)

\(\Rightarrow e^x.f\left(x\right)=\int\left[e^x\left(x^3-x^2+2x-2\right)+4\right]dx\)

\(\Rightarrow e^x.f\left(x\right)=e^x\left(x^3-4x^2+10x-12\right)+4x+C_1\)

Thay \(x=0\) vào ta được: \(1=-12+C_1\Rightarrow C_1=13\)

\(\Rightarrow e^x.f\left(x\right)=e^x\left(x^3-4x^2+10x-12\right)+4x+13\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^3-4x^2+10x-12+\frac{4x+13}{e^x}\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\left(x^3-4x^2+10x-12\right)dx+\int\limits^1_0\left(4x+13\right).e^{-x}dx\)

Tích phân trước bạn tự tính, tích phân sau cũng đơn giản thôi:

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=4x+13\\dv=e^{-x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=4dx\\v=-e^{-x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-\left(4x+13\right).e^{-x}|^1_0+4\int\limits^1_0e^{-x}dx=\frac{-17}{e}+13-4.e^{-x}|^1_0=17-\frac{21}{e}\)

Casio cho kết quả tích phân trước là \(-\frac{97}{12}\)

Vậy \(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\frac{107}{12}-\frac{21}{e}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Phúc Bình
Xem chi tiết
Truongduy
Xem chi tiết
Hùng
Xem chi tiết
Shin Shin
Xem chi tiết
Lacus Clyne
Xem chi tiết
Nguyễn thị Cảnh
Xem chi tiết
Phan trà my
Xem chi tiết
Вятър Озеро
Xem chi tiết
Trùm Trường
Xem chi tiết