Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho AC>BC. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây AC ở H. Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt tia Oh ở D. BD cắt đường tròn tâm O ở E.
a) Chứng minh HA=HC
Góc DCO=90 độ.
b) Chứng minh OH*DO=DE*DB
c) Trên tia đối của EA lấy F sao cho E là trung điểm AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc AD ở K. KF cắt BC ở M. Chứng minh MK=MF
a.Vì \(A,C\in\left(O\right);OH\perp AC\rightarrow H\) là trung điểm \(AC\rightarrow HA=HC\)
Do \(AH=HC,DO\perp AC\rightarrow DO\)là đường trung trực của AC
\(\rightarrow\widehat{DAO}=\widehat{DCO}\rightarrow\widehat{DCO}=90^O\)
b.Vì \(\widehat{DCO}=90^O,CH\perp DO\rightarrow DC^2=DH.DO\)
Mà \(\Delta DCE~\Delta DBC\left(g-g\right)\rightarrow DE.DB=DC^2\)
\(\rightarrow DH.DO=DE.DB\)
c.Ta có E là trung điểm AF, H là trung điểm AC
→EH là đường trung bình \(\Delta AFC\rightarrow HE//CF\rightarrow\widehat{DFC}=\widehat{AEH}\)
Mà DEHA nội tiếp do \(\widehat{DEA}=\widehat{DHA}=90^O\)
\(\rightarrow\widehat{DFC}=\widehat{AEH}=\widehat{ADH}\)
Lại có :
\(\widehat{FEC}=\widehat{CBA}=\widehat{DOA}\rightarrow\Delta DAO~\Delta FCE=90^O\)
Mặt khác :
\(FK//AB\rightarrow\widehat{FMC}=\widehat{MBA}=\widehat{FEC}\rightarrow\) FMEC nội tiếp
\(\rightarrow\widehat{EMF}+\widehat{ECF}=90^O\rightarrow\widehat{EMF}=90^O\rightarrow EM//AK\)
→Mlà trung điểm KF (E là trung điểm AC)
\(\rightarrow MK=MF\)
