Cho đường tròn tâm O bán kính R , từ điểm A nằm A nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến AB ,AC . Gọi H là điểm của BC
a) CM : A,H,O thẳng hàng và các điểm A,B,C,O cùng một đường tròn
b) Kẻ đường kính BD của (O) . Vẽ CK vuông góc BD .CM : AC.CD= CK. AO
c) Tia AO cắt đường tròn tâm O tại M. (M nằm giữa A và C) CM:M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
d) Gọi I là giao điểm của AD và CK . CM : I là trung điểm của CK
Lời giải:
a) Ta có:
$AB=AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
$OB=OC=R$
$\Rightarrow OA$ là trung trực của $BC$. Do đó $OA\perp BC$ tại trung điểm của $BC$, tức $O,A,H$ thẳng hàng.
Mặt khác:
$AB\perp BO, AC\perp CO$ (tính chất tiếp tuyến)
$\Rightarrow \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0$. Tứ giác $ABOC$ có tổng hai góc đối bằng $180^0$ nên là tứ giác nội tiếp.
Hay $A,B,C,O$ cùng thuộc một đường tròn
b)
$AO\perp BC$ (cm ở phần a)
$BC\perp CD$ có $\widehat{BCD}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow AO\parallel CD\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{OCD}=\widehat{ODC}=\widehat{CDK}$
Xét tam giác $AOC$ và $CDK$ có:
$\widehat{ACO}=\widehat{CKD}=90^0
$\widehat{AOC}=\widehat{CDK}$ (cmt)
$\Rightarrow \triangle AOC\sim \triangle CDK$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AO}{AC}=\frac{CD}{CK}\Rightarrow AO.CK=AC.CD$ (đpcm)
c)
$M\in OA$ là đường trung trực của $BC$ nên $MB=MC(*)$
Tuy nhiên thì không có cơ sở để cho thấy $MB=MA$ nên đề sai bạn nhé (hình vẽ)
d) Kéo dài $CD$ cắt $AB$ tại $U$
$BC\perp CD$ nên $BC\perp CU$ nên $CBU$ là tam giác vuông tại $C$
Mà $AH\parallel CU, H$ là trung điểm $BC$ nên $A$ là trung điểm của $BU$
$CK\parallel BU$ (cùng vuông góc với $BD$) nên theo định lya Talet ta có:
$\frac{IK}{AB}=\frac{DI}{DA}=\frac{CI}{AU}$
Mà $AB=AU$ do $A$ là trung điểm $BU$ nên $IK=CI$
$\Rightarrow I$ là trung điểm $CK$
Ta có đpcm.
