Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B. Chứng minh:
a) Tứ giác ABHM nội tiếp
b) OA.OB = OH.OM = R2
c) Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d
d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất
Hướng dẫn giải:
a) Do ME, MF là tiếp tuyến với đường tròn suy ra EF ⊥ OM
Tứ giác ABHM có góc A = góc H = 900 nên tứ giác này nội tiếp đường tròn bán kính MB.
b) \(Δ_VOHB ∼ Δ_VOAM\) (g.g)
\(\Rightarrow \dfrac{OH}{OA}=\dfrac{OB}{AM}\)
\(\Rightarrow OA.OB=OH.OM\) (1)
\(Δ_VOHE∼ Δ_VOEM\) (g.g)
\(\Rightarrow \dfrac{OH}{OE}=\dfrac{OE}{OM}\)
\(\Rightarrow OH.OM=OE^2=R^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OA.OB=OH.OM =R^2\)
c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O). Nối FI.
Do \(\stackrel\frown{FI}=\stackrel\frown{EI}\) suy ra \(\widehat{MFI}=\widehat{EFI}\)
Suy ra FI là phân giác của góc \(\widehat{MFE}\)
Lại có MI là phân giác của góc \(\widehat{EMF}\)
Do đó I là giao điểm của đường phân giác trong của tam giác MEF
\(\Rightarrow\) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
Mà I thuộc đường tròn (O) cố định. Suy ra đpcm.
d) Diện tích tam giác HBO: \(S=\dfrac{1}{2}HO.HB\)
Xét \(Δ_VOHB∼ Δ_VOAM\) (g.g)
\(\Rightarrow \dfrac{HB}{AM}=\dfrac{OB}{OM}\)
\(\Rightarrow HB.OM=AM.OB\) (3)
Có: \(OH.OM=R^2\) (4)
Nhân (3) và (4) vế với vế ta được: \(OH.HB.OM^2=R^2.AM.OB=R^2.AM.\dfrac{R^2}{OA}\)
\(\Rightarrow OH.HB = R^4.\dfrac{AM}{OA.OM^2}= R^4.\dfrac{AM}{OA.(OA^2+AM^2)}\)
Áp dụng BĐT Cô si với OA và AM ta có: \(OA^2+AM^2\ge2.\sqrt{OA^2.AM^2}=2.OA.AM\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(OA=AM\)
\(\Rightarrow OH.HB \le R^4.\dfrac{AM}{OA.2.OA.AM}=\dfrac{R^4}{2OA^2}\)
Suy ra: \(S_{max}=\dfrac{R^4}{4.OA^2}\) khi \(OA=AM\)
