Cho đường tròn (O;R) hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau trên đoạn AO lấy M. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Tiếp tuyến của đường tròn tại N cắt đường tròn vuông góc với AB tại M ở P
a) Chứng minh tứ giác OMNP là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành
c) Cho AM = \(\frac{1}{3}\)AO. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)MNP theo R
a) NP là tiếp tuyến của (O) nên góc ONP bằng 90 độ, ta có góc OMP bằng 90 độ , hai góc trên cùng chắn trên cạnh OP => Tứ giác OMNP nội tiếp (1)
b) OC=ON => Tam giác CON cân tại O =>Góc OCN= Góc ONC
OC song song với MP ( cùng vuông góc với AB) (*)
=> Góc NMP= Góc ONC (2)
Từ (1) (phần a) => Góc NMP= Góc NOP (3)
Từ (2), (3) ta có Góc ONC=Góc NOP => CM song song với OP (**)
Từ (*), (**) suy ra tứ giác CMPO là hình bình hành
c) Từ phần b suy ra MP=OC=OD => MODP là hình chữ nhật
=> M,O,D,P cùng nằm trên một đường tròn
=> M,O,N,D,P cùng nằm trên một đường tròn, gọi tâm của đường trong là I. Kẻ IQ, IS lần lượt vuông góc với MO và OD thì Q là trung điểm MO; S là trung điểm OD, dễ thấy IQ = SO
Khi đó : MQ = \(\frac{AO}{3}\) = \(\frac{R}{3}\); IQ = \(\frac{OD}{2}\) = \(\frac{R}{2}\); bán kính của (I) là IM.
Áp dụng Định lí Pytago vào tam giác IQM ta có:
IM= \(\sqrt{IQ^2+MQ^2}\) = \(\frac{\sqrt{13}}{6}R\)
