Question

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng c, d đi qua M lần lượt tiếp xúc với (O) tại A, B. Tia phân giác của góc MAB cắt MO tại I. Chứng minh điểm I cách đều ba đường thẳng MA, MB và AB.

Answer 1

Gọi $\mathrm{H}, \mathrm{K}$ và N lần lượt là hình chiếu của I lên $M A, M A$ và $A B$.
Theo cách vẽ, ta có $\mathrm{IH} \perp \mathrm{MA}$, $\mathrm{IK} \perp \mathrm{MB}, \mathrm{IN} \perp \mathrm{AB}$ nên $\widehat{I H A}=\widehat{I H M}=\widehat{I K M}=\widehat{A N I}=90^{\circ}$.
Xét $\Delta \mathrm{ANI}$ (vuông tại N ) và $\Delta \mathrm{AHI}$ (vuông tại H ) có:
Al là cạnh chung; $\widehat{N A I}=\widehat{H A I}$ (do Al là phân giác của $\widehat{M A B}$ ).
Do đó $\Delta \mathrm{ANI}=\Delta \mathrm{AHI}$ (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra $\mathrm{IN}=\mathrm{IH}$ (hai cạnh tương ứng). (1)
Vì $M A, M B$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $M$ với $A, B$ là các tiếp điểm nên $M O$ là tia phân giác của $\widehat{A M B}$ hay MI là tia phân giác của $\widehat{H M K}$.

Xét $\Delta \mathrm{MHI}$ (vuông tại H$)$ và $\Delta \mathrm{MKI}$ (vuông tại K ) có:
MI là cạnh chung và $\widehat{H M I}=\widehat{K M I}$ (do MI là tia phân giác của $\widehat{H M K}$ ).
Do đó $\Delta \mathrm{MHI}=\Delta \mathrm{MKI}$ (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra $\mathrm{IH}=\mathrm{IK}$ (hai cạnh tương ứng). (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\mathrm{IN}=\mathrm{IH}=\mathrm{IK}$.
Vậy điểm I cách đều ba đường thẳng $M A, M B$ và $A B$.

Answer 2

Gọi $\mathrm{H}, \mathrm{K}$ và N lần lượt là hình chiếu của I lên $M A, M A$ và $A B$.
Theo cách vẽ, ta có $\mathrm{IH} \perp \mathrm{MA}$, $\mathrm{IK} \perp \mathrm{MB}, \mathrm{IN} \perp \mathrm{AB}$ nên $\widehat{I H A}=\widehat{I H M}=\widehat{I K M}=\widehat{A N I}=90^{\circ}$.
Xét $\Delta \mathrm{ANI}$ (vuông tại N ) và $\Delta \mathrm{AHI}$ (vuông tại H ) có:
Al là cạnh chung; $\widehat{N A I}=\widehat{H A I}$ (do Al là phân giác của $\widehat{M A B}$ ).
Do đó $\Delta \mathrm{ANI}=\Delta \mathrm{AHI}$ (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra $\mathrm{IN}=\mathrm{IH}$ (hai cạnh tương ứng). (1)
Vì $M A, M B$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $M$ với $A, B$ là các tiếp điểm nên $M O$ là tia phân giác của $\widehat{A M B}$ hay MI là tia phân giác của $\widehat{H M K}$.

Xét $\Delta \mathrm{MHI}$ (vuông tại H$)$ và $\Delta \mathrm{MKI}$ (vuông tại K ) có:
MI là cạnh chung và $\widehat{H M I}=\widehat{K M I}$ (do MI là tia phân giác của $\widehat{H M K}$ ).
Do đó $\Delta \mathrm{MHI}=\Delta \mathrm{MKI}$ (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra $\mathrm{IH}=\mathrm{IK}$ (hai cạnh tương ứng). (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\mathrm{IN}=\mathrm{IH}=\mathrm{IK}$.
Vậy điểm I cách đều ba đường thẳng $M A, M B$ và $A B$.