Question

cho đường tròn ( O ; R ) và 1 điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó . 2 dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và  vuông góc với nhau :  a) chứng minh rằng AB² + CD² không đổi   ;  b) chứng minh rằng PA² + PB² + PC² + PD² không phụ thuộc vào vị trí của điểm P .

Answer 1

 

a) AB² + CD² = (2. MA)² + (2. ND)² = 4 (MA² + ND²) = 4 [ (OA² - OM²)  + (OD² - ON²)

   = 4 [ 2R²  - (OM² + ON²) ] = 4 [2R² - (OM² + MP²) = 4 [2R² - OP² ]

=> Tổng trên không phụ thuộc vào vị trí các dây cung AB và CD, miễn là chúng đi qua P và vuông góc với nhau

b) Nối CO cắt đường tròn tại Q, ta có góc CDQ = CAQ = 90 (góc chắn nửa đường tròn)

=> DQ // AB => BD = AQ (hai dây chắn bởi 2 đường song song)

PA² + PB² + PC² + PD² = (PA² + PC²) + (PB² + PD²) = AC² + BD² = AC² + AQ² = CQ² = (2R)²

Tổng trên không phụ thuộc vào điểm P.