Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm C bất kỳ thuộc đường tròn (C khác A và B). Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BC ở D. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E.
1. Chứng minh bốn điểm A, E, C, O cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh BC.BD = 4R2 và OE song song với BD.
3. Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BC tại N cắt tia EC ở F. Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).
4. Gọi H là hình chiếu của C trên AB, M là giao của AC và OE. Chứng minh rằng khi điểm C di động trên đường tròn (O; R) và thỏa mãn yêu cầu đề bài thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua một điểm cố định.
1: Xét tứ giác AECO có \(\widehat{EAO}+\widehat{ECO}=180^0\)
nên AECO là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Xét ΔDAB vuông tại A có AC là đường cao
nên \(BC\cdot BD=AB^2=4R^2\)
Xét (O) có
EA là tiếp tuyến
EC là tiếp tuyến
DO đó: EA=EC
mà OA=OC
nên OE là đường trung trực của AC
=>OE\(\perp\)AC
=>OE//BD
