Lời giải:
a) Gọi $(x_0,y_0)$ là điểm cố định.
Khi đó \((m-1)x_0+(m-2)y_0=3, \forall m\)
\(\Leftrightarrow m(x_0+y_0)-(x_0+2y_0+3)=0\) với mọi $m$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0+y_0=0\\ x_0+2y_0+3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=3\\ y_0=-3\end{matrix}\right.\)
Vậy điểm cố định mà họ đường thẳng d đi qua là $(3;-3)$
b)
Công thức nâng cao. Cho điểm $A(x_0;y_0)$ và đường thẳng d:\(mx+ny+c=0\)
Khi đó khoảng cách giữa $A$ và $d$ là:
\(d=\frac{|mx_0+ny_0+c|}{\sqrt{m^2+n^2}}\)
Áp dụng vào bài toán:
\(d(A,d)=\frac{|(m-1).1+(m-2)(-2)-3|}{\sqrt{(m-1)^2+(m-2)^2}}=\frac{|-m|}{\sqrt{2m^2-6m+5}}\)
\(=\sqrt{\frac{m^2}{2m^2-6m+5}}=\frac{1}{\sqrt{2-\frac{6}{m}+\frac{5}{m^2}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{m}-\frac{3}{\sqrt{5}})^2+\frac{1}{5}}}\leq \frac{1}{\sqrt{0+\frac{1}{5}}}=\sqrt{5}\)
Vậy \(d_{\max}=\sqrt{5}\Leftrightarrow m=\frac{5}{3}\)
