Cho đoạn thẳng AB. O là trung điểm. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB kẻ Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên Ac lấy điểm C khác A. Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt By tại D. Từ O hạ \(OM\perp CD\)
a) Chứng minh \(OA^2=AC.BD\)
b) Chứng minh \(\Delta AMB\) vuông
c) Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh MN//AC
Lời giải:
a)
Xét tam giác $COA$ và tam giác $ODB$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{CAO}=\widehat{OBD}=90^0\\ \widehat{COA}=\widehat{ODB}(=90^0-\widehat{DOB})\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \triangle COA\sim \triangle ODB(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{CA}{OA}=\frac{OB}{DB}\Rightarrow OA.OB=CA.BD\)
Mà \(OA=OB\Rightarrow CA.BD=OA^2\) (đpcm)
b)
Kẻ $CO$ cắt tia đối của tia $By$ tại $I$
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \widehat{CAO}=\widehat{IBO}=90^0\\ OA=OB\\ \widehat{COA}=\widehat{IOB}(\text{đối đỉnh})\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \triangle CAO=\triangle IBO(g.c.g)(*)\Rightarrow CO=IO\)
Tam giác $DCI$ có đường cao $DO$ đồng thời là trung tuyến nên $DCI$ là tam giác cân tại $D$
\(\Rightarrow DO\) đồng thời là đường phân giác của góc D
\(\Rightarrow \widehat{CDO}=\widehat{IDO} \) hay \(\widehat{MDO}=\widehat{BDO}\)
Xét tam giác $MDO$ và $BDO$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{MDO}=\widehat{BDO}\\ \widehat{DMO}=\widehat{DBO}=90^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \triangle MDO\sim \triangle BDO\Rightarrow \frac{MO}{BO}=\frac{DO}{DO}=1\)
\(\Rightarrow MO=BO=\frac{1}{2}AB\)
Tam giác $MAB$ có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện nên là tam giác vuông.
c) Theo phần b \(\triangle MDO\sim \triangle BDO\Rightarrow \frac{MD}{BD}=\frac{DO}{DO}=1\)
\(\Rightarrow MD=BD\)
Mà \(DC=DI\Rightarrow CM=BI\)
Từ (*) ta cũng có \(CA=BI\) nên suy ra $CA=CM$
Do đó: \(\frac{CA}{BD}=\frac{CM}{MD}\)
Mà theo định lý Talet thì: \(\frac{CN}{NB}=\frac{CA}{BD}\Rightarrow \frac{CM}{MD}=\frac{CN}{NB}\)
Theo định lý Talet đảo suy ra \(MN\parallel BD\parallel AC\)
Lời giải:
a)
Xét tam giác COA và tam giác ODB có:
{^CAO=^OBD=900^COA=^ODB(=900−^DOB)
⇒△COA∼△ODB(g.g)
⇒CAOA=OBDB⇒OA.OB=CA.BD
Mà OA=OB⇒CA.BD=OA2 (đpcm)
b)
Kẻ CO cắt tia đối của tia By tại I
Ta có: {^CAO=^IBO=900OA=OB^COA=^IOB(đối đỉnh)
⇒△CAO=△IBO(g.c.g)(∗)⇒CO=IO
Tam giác DCI có đường cao DO đồng thời là trung tuyến nên DCI là tam giác cân tại D
⇒DO đồng thời là đường phân giác của góc D
⇒^CDO=^IDO hay ^MDO=^BDO
Xét tam giác MDO và BDO có:
{^MDO=^BDO^DMO=^DBO=900
⇒△MDO∼△BDO⇒MOBO=DODO=1
⇒MO=BO=12AB
Tam giác MAB có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện nên là tam giác vuông.
c) Theo phần b △MDO∼△BDO⇒MDBD=DODO=1
⇒MD=BD
Mà DC=DI⇒CM=BI
Từ (*) ta cũng có CA=BI nên suy ra CA=CM
Do đó: CABD=CMMD
Mà theo định lý Talet thì: CNNB=CABD⇒CMMD=CNNB
Theo định lý Talet đảo suy ra MN∥BD∥AC
