Cho đồ thị \(\left(C\right):y=f\left(x\right)=\sqrt{x}\). Gọi \(\left(H\right)\) là hình phẳng giới hạn bởi \(\left(C\right)\) và đường thẳng \(x=9\). Cho \(M\) là điểm thuộc \(\left(C\right)\) và điểm \(A\left(9;0\right)\). Gọi \(V_1\) là thể tích khối tròn xoay khi cho \(\left(H\right)\) quay quanh \(Ox\), \(V_2\) là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác \(AOM\) quay quanh \(Ox\). Biết \(V_1=2V_2\). Tính diện tích \(S\) phần hình phẳng giới hạn bởi \(\left(C\right)\) và \(OM\) (hình vẽ không thể hiện chính xác điểm \(M\)).
A. \(S=3\) B. \(S=\frac{27\sqrt{3}}{16}\) C. \(S=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) D. \(S=\frac{4}{3}\)
\(V_1=\pi\int\limits^9_0xdx=\frac{81\pi}{2}\)
Gọi \(M\left(a;\sqrt{a}\right)\) (\(0\le a\le9\)) và \(N\left(a;0\right)\) là hình chiếu của M trên Ox
Khi quay AOM quanh Ox sẽ tạo thành hai hình nón chung đáy với bán kính đáy \(r=MN=y_M=\sqrt{a}\); chiều cao lần lượt là \(ON=x_N=a\) và \(OM=x_M-x_N=9-a\)
\(\Rightarrow V_2=\frac{1}{3}\pi\left(\sqrt{a}\right)^2\left(a+9-a\right)=3\pi a\)
\(\Rightarrow\frac{81\pi}{2}=6\pi a\Rightarrow a=\frac{27}{4}\) \(\Rightarrow M\left(\frac{27}{4};\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\) diện tích phần giới hạn:
\(S=\int\limits^{\frac{27}{4}}_0\sqrt{x}dx-\frac{1}{2}.\frac{27}{4}.\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{4}-\frac{81\sqrt{3}}{16}=\frac{27\sqrt{3}}{16}\)
