Question

cho \(\Delta ABC\) cân tại A, có 3 góc nhọn. Kẻ đường cao BD và CE, gọi O là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng:

a) BD=CE

b) OE=OD và OB=OC

c) OA là tia phân giác của góc BAC

d) ED // BC

Answer 1

a) Xét 2 tam giác vuông ΔABD và ΔACE ta có:

Cạnh huyền AB = AC (ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAC}\): góc chung

=> ΔABD = ΔACE (c.h - g.n)

=> BD = CE (2 cạnh tương ứng)

b) Có: ΔABD = ΔACE (câu a)

=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông ΔAOE và ΔAOD ta có:

OA: chung

AE = AD (cmt)

=> ΔAOE = ΔAOD (c.h - c.g.v)

c) Có: ΔAOE = ΔAOD (câu b)

=> \(\widehat{EAO}=\widehat{DAO}\) (2 góc tương ứng)

=> AO là phân giác của \(\widehat{EAD}\)

Hay: AO là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

d) Có: AE = AD (câu b)

=> ΔAED cân tại A

=> \(\widehat{AED}=\frac{180^0-\widehat{EAD}}{2}\) (1)

Có: ΔABC cân tại A (GT)

=> \(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)

Hay: \(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{EAD}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ABC}=\widehat{AED}\)

Mà 2 góc này lại là 2 góc đồng vị

=> BC // ED