\(\begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{2}\\{u_2} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} = \frac{2}{3}\\{u_3} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = \frac{3}{4}\\{u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{2}\\{u_2} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} = \frac{2}{3}\\{u_3} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = \frac{3}{4}\\{u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\end{array}\)
Tìm \({u_2},{u_3}\) và dự đoán công thức số hạng tổng quát \({u_n}\) của dãy số:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{1 + {u_n}}}\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n}\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\).
a) Chứng minh \({u_2} = 2.3;{u_3} = {2^2}.3;{u_4} = {2^3}.3\).
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{n}\). So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{na + 2}}{{n + 1}}\). Tìm giá trị của \(a\) để:
a) \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng;
b) \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).
Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn.
Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a) \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\);
b) \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \frac{{n + 2}}{{{4^n}}}\);
c) \(\left( {{t_n}} \right)\) với \({t_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}\).
Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{3} + \cos \frac{{n\pi }}{4}\);
b) \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{6n - 4}}{{n + 2}}\)
Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 1). Gọi \({u_n}\) là số cột gỗ nằm ở lớp thứ 2 tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng hai cách:
a) Viết công thức số hạng tổng quát \({u_n}\).
b) Viết hệ thức truy hồi.
Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = \cos \frac{\pi }{n}\);
b) \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \frac{n}{{n + 1}}\)