Question

Cho ΔABC vuông tại A có AB = 8cm, AC = 6cm, đường cao AH, phân giác AD

a) Tính độ dài BC, BD ?

b) Kẻ HE ⊥ AB tại E , HF⊥ AC tại F. Chứng minh rằng AE.AB = AH\(^2\) ?

c) Chứng minh rằng \(\dfrac{\text{AE}}{AC}\)= \(\dfrac{\text{AF}}{AB}\) ?

HELP ME!

Answer 1

a) △ABC vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có:
BC² = AC² + AB²
<=> BC² = 6² + 8² = 100
<=> BC = 10 (cm)
△ABC có AD là tia phân giác
nên \(\dfrac{CD}{AC}\) = \(\dfrac{BD}{AB}\)= \(\dfrac{CD+BD}{AC+AB}\)= \(\dfrac{BC}{6+8}\)= \(\dfrac{10}{14}\)= \(\dfrac{5}{7}\) (theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Do đó BD = AB.\(\dfrac{5}{7}\)= \(\dfrac{40}{7}\)(cm)
b) Có HE ⊥ AB tại E => Góc AEH = 90^o
Có AH ⊥ BC tại H => Góc AHB = 90^o
Xét △AEH và △AHB có:
Góc AEH = Góc AHB = 90^o (cmt)
Góc HAE chung
Do đó △AEH đồng dạng với △AHB (g.g)
=> \(\dfrac{AE}{AH}\) = \(\dfrac{AH}{AB}\) = AE.AB = AH² (1)
c) Có HF⊥AC tại F => Góc AFH = 90^o
Xét △AFH và △AHC có:
Góc AFH = Góc AHC = 90^o
Góc CAH chung
Do đó △AFH đồng dạng với △AHC (g.g)
=> \(\dfrac{AF}{AH}\) = \(\dfrac{AH}{AC}\) <=> AF.AC = AH² (2)
Từ (1) và (2) suy ra AF.AC = AE.AB <=> \(\dfrac{AE}{AC}\) = \(\dfrac{AF}{AB}\)