Question

Cho ΔABC có \(\widehat{A}=90^o\) và BC=2AB. Gọi E là trung điểm BC. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D.

a) CMR: BD là tia phân giác của tam giác ADE.

b) CMR: BD=DC.

c) Tính góc B, C.

Answer 1

Lời giải:

a)

Vì \(BC=2AB; BC=2BE\) do E là trung điểm của BC, nên \(AB=BE\)

Xét tam giác $BAD$ và tam giác $BED$ có:

\(\left\{\begin{matrix} BA=BE\\ \angle ABD=\angle EBD(\text{do BD là phân giác góc B})\\ BD-\text{chung}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \triangle BAD=\triangle BED(c.g.c)\Rightarrow \angle BDA=\angle BDE\)

Do đó $DB$ là phân giác góc $ADE$

(đpcm)

b)

Theo phần a \(\triangle BAD=\triangle BED\Rightarrow \angle BED=\angle BAD=90^0\)

\(\Rightarrow ED\perp BC\) . Mặt khác từ hai tam giác bằng nhau ta cũng có: \(AD=DE\) (1)

\(BC=2AB\Rightarrow AB=\frac{BC}{2}=EC\) (2)

Áp dụng định lý Pitago: \(DC^2=DE^2+EC^2\) (3)

Và: \(BD^2=AD^2+AB^2\) (4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra \(DC^2=BD^2\Leftrightarrow BD=DC\)

c)

Ta có: \(\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \angle B=60^0\)

\(\angle C+\angle B=90^0\Rightarrow \angle C=90^0-\angle B=30^0\)

Answer 2

a ta có E là trung điểm của BC

=>BE= CE mà BC=2AB =>AB=BE

Xét tam giác ABD vàtam giác EBD có

AB =BE (CMT)

góc ABD = góc EBD ( BD là phân giác của góc B)

cạnh BD chung

=> tam giác ABD = tam giác EBD ( c.g.c)

=> góc ADB = góc EDB (hai góc tương ướng )

=>BD là phân giác của tam giác ADE

b...ta có tam giác ADB bằng tam giác EDB (CMT )

=>GóC BAD bằng góc BED( hai cạnh tương ướng )

mà góc A bằng 90 độ nên gócB ED bằng 90 độ

ta có ;góc BED +góc DEC =180 ( hai góc kề bù ) mà góc BED bằng 90 độ

=> DEC=90 độ

Xét tam giác EDB và tam giác EDC có

EB = EC ( CMT )

ED chung

=> tam giác EDB = tam giác EDC (hai cạnh góc vuông )

=> BD= BC ( hai cạnh tương ướng)

c ta có góc A+ góc B+ góc C = 180 độ ( Tổng ba góc tam giác)

góc B+ góc C = 180 - góc A= 180 -90=90

mà góc B= góc C ( hai goc tương ướng của tam giác EDB bằng tam giác EDC )

=> góc B = góc C = 90độ

Answer 3

a) BC = 2AB \(\Rightarrow\) AB = \(\dfrac{1}{2}\)BC

EB = EC = \(\dfrac{1}{2}\)BC ( E là trung điểm của BC )

\(\Rightarrow\) BA = BE

Xét Δ ABD và Δ EBD có:

AB = EB ( cmt )

\(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{EBD}\) ( BD là phân giác \(\widehat{ABC}\) )

BD chung

\(\Rightarrow\) Δ ABD = Δ EBD ( c.g.c)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ADB}\) = \(\widehat{EDB}\) ( 2 góc tương ứng )

\(\Rightarrow\) DB là phân giác của \(\widehat{ADE}\)

b) \(\widehat{BED}\) = \(\widehat{BAD}\) ( 2 góc tương ứng )

mà \(\widehat{BAD}\) = 90\(^O\) \(\Rightarrow\) \(\widehat{BED}\) = 90\(^O\) , \(\widehat{DEC}\) = 90\(^O\)

Xét Δ BED và Δ CED có:

BE = CE ( CE là trung điểm của BC )

\(\widehat{BED}\) = \(\widehat{CED}\) = 90\(^O\)

ED chung

\(\Rightarrow\) Δ BED = Δ CED ( c.g.c)

\(\Rightarrow\) BD = DC ( 2 cạnh tương ứng )

c) Δ EBD = Δ ECD ( cmt )

\(\Rightarrow\) \(\widehat{EBD}\) = \(\widehat{ECD}\) ( 2 góc tương ứng )

mà \(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{CBD}\) ( BD là phân giác của \(\widehat{ABC}\) )

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}\) = 2\(\widehat{ACB}\)

\(\widehat{ABC}\) + \(\widehat{ACB}\) = 90\(^O\) ( Δ ABC có \(\widehat{A}\) = 90\(^O\) )

\(\Rightarrow\) 2\(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{ACB}\) = 90\(^O\) \(\Rightarrow\) 3\(\widehat{ACB}\) = 90\(^O\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ACB}\) = 30\(^O\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}\) = 2. 30\(^O\) = 60\(^O\)