Question

Cho ΔABC có AB = AC. Lấy điểm D trên cạnh AC, E trên cạnh AB sao cho AD = AE.

a. Chứng minh rằng: BE = CD

b. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: ΔBOD = ΔCOE

c. Chứng minh rằng: AO là tia phân giác của góc BAC

(GIẢI CHI TIẾT, CÓ VẼ HÌNH)

Answer 1

Ta có hình vẽ sau:

a/ Ta có:

AD + DB = AB

AE + EC = AC

mà AB = AC (gt) ; AE = AD (gt)

=> DB = EC

Vì AB = AC => \(\Delta ABC\) cân

=> \(\widehat{AB}C=\widehat{ACB}\)

Xét \(\Delta BEC\) và \(\Delta CDB\) có:

BC : Cạnh chung

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)

EC = DB (cmt)

=> \(\Delta BEC=\Delta CDB\left(c-g-c\right)\)

=> BE = CD (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b/ Vì \(\Delta BEC=\Delta CDB\) (ý a)

=> \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\) (2 cạnh tương ứng)

mà \(\widehat{EBC}+\widehat{DBE}=\widehat{ABC}\) (2 góc kề nhau)

\(\widehat{DCB}+\widehat{ECD}=\widehat{ACB}\) (2 góc kề nhau)

ta lại có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (đã cm)

=> \(\widehat{DBE}=\widehat{ECD}\)

Xét \(\Delta BOD\) và \(\Delta COE\) có:

\(\widehat{BDC}=\widehat{CEB}\) (2góc tương ứng do \(\Delta BEC=\Delta CDB\) )

DB = EC (đã cm)

\(\widehat{DBE}=\widehat{ECD}\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta BOD=\Delta COE\left(g-c-g\right)\left(đpcm\right)\)

c/ Vì \(\Delta BOD=\Delta COE\) (ý b)

=> OD = OE (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AOD\) và \(\Delta AOE\) có:

AO: Cạnh chung

AD = AE (gt)

OD = OE (cmt)

=> \(\Delta AOD=\Delta AOE\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DAO}=\widehat{EAO}\) (2 góc tương ứng)

=> AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (đpcm)

Answer 2

Giải:

a) Vì \(\Delta ABC\) có AB = AC nên \(\Delta ABC\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}\)

Ta có: AB = AC ( gt )

AD = AE ( gt )

\(\Rightarrow AB-AD=AC-AE\)

\(\Rightarrow BD=CE\)

Xét \(\Delta DBC,\Delta ECB\) có:

\(BD=CE\left(cmt\right)\)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\left(cmt\right)\)

BC: cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta DBC=\Delta ECB\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow BE=CD\) ( cạnh t/ứng ) ( đpcm )

\(\Rightarrow\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\) ( góc t/ứng )

b) Ta có: \(\widehat{D_1}+\widehat{O_1}+\widehat{B_1}=180^o\) ( 3 góc của \(\Delta DOB\) )

\(\widehat{E_1}+\widehat{O_2}+\widehat{C_1}=180^o\) ( 3 góc của \(\Delta EOC\) )

Vì \(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\) ( theo phần a ); \(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\) ( đối đỉnh )

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\)

Xét \(\Delta BOD,\Delta COE\) có:
\(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\) ( theo phần a )

\(BD=CE\) ( theo phần a )

\(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BOD=\Delta COE\left(g-c-g\right)\) ( đpcm )

\(\Rightarrow OB=OC\) ( cạnh t/ứng )

c) Xét \(\Delta ABO,\Delta ACO\) có:

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) ( theo phần b )

\(OB=OC\) ( theo phần b )

\(\Rightarrow\Delta ABO=\Delta ACO\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) ( góc t/ứng )

\(\Rightarrow\)AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) ( đpcm )