a) △ABC cân tại A \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\)
Xét △ABE và △ACD có:
\(AB=AC\\ \widehat{A}:\text{ góc chung}\\ AE=AD\)
\(\Rightarrow\text{△ABE = △ACD (c.g.c)}\)
\(\Rightarrow BE=CD\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\)
b) \(\text{△ABE = △ACD (c.g.c)}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\\\widehat{AEB}=\widehat{ADC}\end{matrix}\right.\)(2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat{AEB}+\widehat{BEC}=180^o\\ \widehat{ADC}+\widehat{CDB}=180^o\)(2 góc kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{CDB}\)
Có AD = AE
Mà AB = AC
\(\Rightarrow BD=CE\)
Xét △KBD và △KCE có:
\(\widehat{KBD}=\widehat{KCE}\\ BD=CE\\ \widehat{KDB}=\widehat{KEC}\)
\(\Rightarrow\text{△KBD = △KCE (g.c.g)}\)
c) \(\text{△KBD = △KCE (g.c.g)}\)
\(\Rightarrow KB=KC\) (2 cạnh tương ứng)
Xét △AKB và △AKC có:
\(AB=AC\\ KB=KC\\ AK:\text{cạnh chung}\)
\(\Rightarrow\text{△AKB = △AKC (c.c.c)}\)
\(\Rightarrow\widehat{KAB}=\widehat{KAC}\) (2 góc tương ứng)
Mà AK nằm giữa AB và AC
\(\Rightarrow\) AK là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (1)
Xét △AMB và △AMC có:
\(AB=AC\\ MB=MC\\ AM:\text{cạnh chung}\)
\(\Rightarrow\text{△AMB = △AMC (c.c.c)}\)
\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\) (2 góc tương ứng)
Mà AM nằm giữa AB và AC
\(\Rightarrow\) AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (2)
(1) (2) \(\Rightarrow\) A;K;M thẳng hàng
a) Xét ΔABE và ΔACD có
AE=AD(gt)
\(\widehat{A}\) chung
AB=AC(ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔABE=ΔACD(c-g-c)
⇒BE=CD(hai cạnh tương ứng)
b)Ta có: ΔABE=ΔACD(cmt)
⇒\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{DBK}=\widehat{ECK}\)
Ta có: AD+DB=AB(do A,D,B thẳng hàng)
AE+EC=AC(do A,E,C thẳng hàng)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
và AD=AE(gt)
nên BD=EC
Xét ΔDKB có
\(\widehat{D_1}+\widehat{K_1}+\widehat{B_1}=180^0\)(định lí tổng ba góc trong một tam giác)(1)
Xét ΔKEC có
\(\widehat{E_1}+\widehat{K_2}+\widehat{C_1}=180^0\)(định lí tổng ba góc trong một tam giác)(2)
Ta có: \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\)(cmt)(3)
và \(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}\)(hai góc đối đỉnh)(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\)
Xét ΔKBD và ΔKEC có
\(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\)(cmt)
BD=EC(cmt)
\(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\)(cmt)
Do đó: ΔKBD=ΔKEC(g-c-g)
c) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
⇒A nằm trên đường trung trực của BC(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(5)
Ta có: KB=KC(ΔKBD=ΔKCE)
⇒K nằm trên đường trung trực của BC(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(6)
Ta có: MB=MC(M là trung điểm của BC)
⇒M nằm trên đường trung trực của BC(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(7)
Từ (5), (6) và (7) suy ra A,K,M thẳng hàng(đpcm)