Question

Cho các số x, y, z thỏa mãn đồng thời \(x+y+z\) = 1, \(x^2+y^2+z^2\) = 1, \(x^3+y^3+z^3\) = 1

Tính tổng S = \(x^{2009}+y^{2010}+z^{2011}\)

Answer 1

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2\left(1-x\right)+y^2\left(1-y\right)+z^2\left(1-z\right)=0\)

Theo đề: \(x+y+z=1\Leftrightarrow x;y;z\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x\ge0\\1-y\ge0\\1-z\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(1-x\right)+y^2\left(1-y\right)+z^2\left(1-z\right)\ge0\)

Dấu bằng xảy ra khi: \(x^2\left(1-x\right);y^2\left(1-y\right);z^2\left(1-z\right)=0\)

Kết hợp đk đầu bài x+y+z=1 suy ra x;y;z là hoán vị (0;0;1)

\(\Rightarrow S=1\)