Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((\sqrt{x+2y}+\sqrt{y+2z}+\sqrt{z+2x})^2\leq [(x+2y)+(y+2z)+(z+2x)](1+1+1)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x+2y}+\sqrt{y+2z}+\sqrt{z+2x})^2\leq 9(x+y+z)=9\)
\(\Rightarrow \sqrt{x+2y}+\sqrt{y+2z}+\sqrt{z+2x}\leq 3\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{x+2y}}{1}=\frac{\sqrt{y+2z}}{1}=\frac{\sqrt{z+2x}}{1}\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\) hay $x=y=z=\frac{1}{3}$
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\end{matrix}\right.\). Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{\sqrt{x+2y}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+2z}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+2x}}\le\sqrt{3}\).
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x+y+z=2020xyz\) . Cmr \(\dfrac{x^2+1+\sqrt{2020x^2+1}}{x}+\dfrac{y^2+1+\sqrt{2020y^2+1}}{y}+\dfrac{z^2+1+\sqrt{2020z^2+1}}{z}\le2020.2021xyz\)
1.Cho tam giác ABC. Chứng minh:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
2. Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất :
\(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Tìm Min \(P=\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\)
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=4\). Tìm Max \(F=\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
1. Cho \(x,y,z\) là 3 số thực dương thõa mản xyz = 1. C/m BĐT
\(\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}\le\dfrac{3}{16}\)
2. Cho x,y,z không âm và thõa mản \(x^2+y^2+z^2=1\). C/m BĐT
\(\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{z^2+1}}\right)\le\dfrac{3}{2}\)
Cho 3 số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \(xyz=8\). Chứng minh rằng
\(\frac{x^2}{x^2+2x+4}+\frac{y^2}{y^2+2y+4}+\frac{z^2}{z^2+2z+4}\ge1\)
Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2\le3\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(H=\frac{y}{x^2+2y+3}+\frac{z}{y^2+2z+3}+\frac{x}{z^2+2x+3}\)
