Lời giải:
$\log_2(x+\sqrt{x^2+1})+\log_2(y+\sqrt{y^2+1})=4$
$\Leftrightarrow \log_2[(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})]=4$
$\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=16(*)$
Ta có:
$(*)\Leftrightarrow -(y+\sqrt{y^2+1})=16(x-\sqrt{x^2+1})$
$(*)\Leftrightarrow -(x+\sqrt{x^2+1})=16(y-\sqrt{y^2+1})$
Cộng theo vế và rút gọn:
$17(x+y)=15(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
$(x^2+1)(1+\frac{8^2}{15^2})\geq (x+\frac{8}{15})^2$
$\Rightarrow \sqrt{x^2+1}\geq \frac{15}{17}(x+\frac{8}{15})$
Tương tự: $\sqrt{y^2+1}\geq \frac{15}{17}(y+\frac{8}{15})$
$\Rightarrow 17(x+y)\geq \frac{15^2}{17}(x+y+\frac{16}{15})$
$\Rightarrow x+y\geq \frac{15}{4}$
Vậy $P_{\min}=\frac{15}{4}$ khi $x=y=\frac{15}{8}$
