Question

Cho các số thực không âm a, b. Tìm GTNN của biểu thức P = \(\dfrac{\left(a^2+2b+3\right)\left(b^2+2a+3\right)}{\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si:

$(a^2+2b+3)(b^2+2a+3)=(a^2+1+2b+2)(b^2+1+2a+2)$

$\geq (2a+2b+2)(2b+2a+2)=4(a+b+1)^2$

Xét hiệu:

$(a+b+1)^2-(2a+1)(2b+1)=a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\geq 0$ với mọi $a\geq 0; b\geq 0$

$\Rightarrow (a+b+1)^2\geq (2a+1)(2b+1)$

$\Rightarrow (a^2+2b+3)(b^2+2a+3)\geq 4(2a+1)(2b+1)$

$\Rightarrow P\geq 4$

Vậy GTNN của $P$ là $4$ khi $a=b=1$

Answer 2

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si:

$(a^2+2b+3)(b^2+2a+3)=(a^2+1+2b+2)(b^2+1+2a+2)$

$\geq (2a+2b+2)(2b+2a+2)=4(a+b+1)^2$

Xét hiệu:

$(a+b+1)^2-(2a+1)(2b+1)=a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\geq 0$ với mọi $a\geq 0; b\geq 0$

$\Rightarrow (a+b+1)^2\geq (2a+1)(2b+1)$

$\Rightarrow (a^2+2b+3)(b^2+2a+3)\geq 4(2a+1)(2b+1)$

$\Rightarrow P\geq 4$

Vậy GTNN của $P$ là $4$ khi $a=b=1$