Question

Cho các số thực a và b thỏa mãn a + b +ab = 8. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(a^2+b^2\) .

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si:

$a^2+4\geq 2\sqrt{4a^2}=|4a|\geq 4a$

$b^2+4\geq |4b|\geq 4b$

$2(a^2+b^2)\geq 4|ab|\geq 4ab$

Cộng theo vế và thu gọn:

$3(a^2+b^2)+8\geq 4(a+b+ab)=32$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 8$

Vậy $a^2+b^2$ min bằng $8$. Giá trị này đạt tại $a=b=2$

Answer 2

Áp dụng BĐT cosi:
`a^2+4>=4a`
`b^2+4>=4b`
`=>a^2+b^2+8>=4(a+b)(1)`
Áp dụng cosi:
`a^2+b^2>=2ab`
`=>2(a^2+b^2)>=4ab(2)`
Cộng từng vế (1)(2) ta có:
`3(a^2+b^2)+8>=4(a+b+ab)=32`
`<=>3(a^2+b^2)>=24`
`<=>(a^2+b^2)>=8`
Dấu "=" `<=>a=b=2`