Lời giải:
Sử dụng kết quả sau: Với \(n\in\mathbb{N}\Rightarrow n^5-n\vdots 30\)
Chứng minh:
Ta có: \(n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\)
Xét thấy \(n-1,n\) là hai số nguyên liên tiếp nên \(n(n-1)\vdots 2\)
\(\Rightarrow n^5-n\vdots 2(1)\)
Xét thấy \(n-1,n,n+1\) là ba số nguyên liên tiếp nên
\(n(n-1)(n+1)\vdots 3\)
\(\Rightarrow n^5-n\vdots 3(2)\)
Xét modulo của 5 cho $n$ :
+) \(n=5k\Rightarrow n^5-n=(5k)^2-(5k)\vdots 5\)
+) \(n=5k+1\Rightarrow n-1=5k\vdots 5\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)
+) \(n=5k+2\Rightarrow n^2+1=(5k+2)^2+1=5(5k^2+4k+1)\vdots 5\)
\(\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)
+) \(n=5k+3\Rightarrow n^2+1=(5k+3)^2+1=5(5k^2+6k+2)\vdots 5\)
\(\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)
+) \(n=5k+4\Rightarrow n+1=5k+5\vdots 5\)
\(\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)
Tóm lại trong mọi TH thì \(n^5-n\vdots 5(3)\)
Từ (1);(2);(3) và (2,3,5) là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên:
\(n^5-n\vdots (2.3.5=30)\)
--------------------------------
Quay trở tại bài toán. Áp dụng kết quả trên:
\(M-N=(a_1^5-a_1)+(a_2^5-a_2)+...+(a_{2017}^5-a_{2017})\vdots 30\)
Mà \(N\vdots 30\Rightarrow M\vdots 30\)
Vậy ta có đpcm.
