Question

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn các điều kiện x+y+z=2 và x²+y²+z²=2.

CMR biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x,y,z:

P=\(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)

Answer 1

Ta co:

\(x+y+z=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=4\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=1\)

Ta lai co:

\(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)

\(1+y^2=xy+yz+zx+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)

\(1+z^2=xy+yz+zx+z^2=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

Thay vao P ta duoc:

\(P=\Sigma x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}=\Sigma\left(y+z\right)=2\left(x+y+z\right)=2.2=4\)

Answer 2

à xin lỗi nha cái hạng tử cuối cùng là \(z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\) mới đúng