Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh bất đẳng thức:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Lời giải:Ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức AM−GM với mẫu số vì bất đẳng thức sẽ đổi chiều:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\le\frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}\ge\frac{3}{2}\)(Vô lí)
Và ta làm theo cách khác : \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{a}{2b}=a-\frac{ab}{2}\).Ta đã sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số \(1\)+\(b^2\ge2b\)
Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức đương tự với b,c rồi cộng cả 3 bất đẳng thức lại suy ra:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}=a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\ge\frac{3}{2}\).vì ta có ab+bc+ac≤3. Dấu = xảy ra khi a=b=c=1.
