Question

Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\text{ ≤ }\frac{1}{2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\frac{1}{a+b}\)

Cảm ơn mn nhiều !!!

Answer 1

\(\frac{1}{2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\le1\)

\(\Rightarrow1\ge\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge4\)

\(\frac{1}{2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{8}\Rightarrow-\frac{1}{a+b}\ge-\frac{1}{8}\)

\(\Rightarrow M\ge4-\frac{1}{8}=\frac{31}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=4\)