Question

Cho các số a,b,c thõa mãn : a+b+c=\(\dfrac{3}{2}\) . CMR a²+b²+c² ≥ \(\dfrac{3}{4}\)

Answer 1

Bổ sung ĐK không âm nha bạn

Áp dụng BĐT Cô - Si : x² + y² ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0)

Ta có :

a² + b² ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0) ( 1 )

b² + c² ≥ 2bc ( b > 0 ; c > 0) ( 2)

c² + a² ≥ 2ac ( c > 0 ; a > 0) ( 3 )

Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , ta có :

2( a² + b² + c² ) ≥ 2( ab + bc + ac)

⇔ 3( a² + b² + c²) ≥ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

⇔ a² + b² + c² ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{3}=\dfrac{9}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi : a = b = c = \(\dfrac{1}{2}\)