Question

Cho các số a, b, c, x, y, z thoả mãn a+b+c=a²+b²+c²=1 và \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\).

CMR: ( x + y + z )² = x² + y² + z².

Answer 1

Áp dụng tc dãy tỉ số bằng nhau ta có:\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=\dfrac{x+y+z}{1}=x+y+z\)\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\left(x+y+z\right)^2\left(1\right)\)

Từ \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}\)

Áp dụng tc dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{1}=x^2+y^2+z^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=x^2+y^2+z^z\left(2\right)\)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)

Answer 2

+Ta có :\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)\(=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=\dfrac{x+y+z}{1}\)(vì a + b+c =1)

=>\(\left(\dfrac{x^2}{a^2}\right)=\left(\dfrac{y^2}{b^2}\right)=\left(\dfrac{z^2}{c^2}\right)=\dfrac{\left(x+y+z\right)2}{1}\)(1)

+Vì \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)

=>\(\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}\) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{1}\)(vì a² + b² + c² =1 ) (2)

Từ (1) và(2)=> ( x + y + z )2 = x2 + y2 + z2.

Vậy.........