Question

Cho các số a, b, c thỏa mãn

a+b+c=1; a^2+b^2+c^2=1; a^3+b^3+c^3=1

Tính

S=a^2009+y^2010+z^2011

Answer 1

\(\left(a+b+c\right)^2=1\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=0\) (1)

Mặt khác ta có kết quả quen thuộc:

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(\Rightarrow3abc=ab+bc+ca=0\)

\(\Rightarrow abc=0\)

Do vai trò của a; b; c là như nhau, giả sử \(a=0\)

Thay vào (1) \(\Rightarrow bc=0\)

Giả sử \(b=0\)

Thay vào \(a+b+c=1\Rightarrow c=1\)

Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị

\(\Rightarrow S=1\)