Ta có: \(\frac{a}{5b}=\frac{b}{5c}=\frac{c}{5d}=\frac{d}{5a}.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5}.\frac{a}{b}=\frac{1}{5}.\frac{b}{c}=\frac{1}{5}.\frac{c}{d}=\frac{1}{5}.\frac{d}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5}.\frac{a}{b}.5=\frac{1}{5}.\frac{b}{c}.5=\frac{1}{5}.\frac{c}{d}.5=\frac{1}{5}.\frac{d}{a}.5\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}\) và \(a+b+c+d\ne0.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b+c+d+a}=\frac{1}{1}=1.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b}=1\\\frac{b}{c}=1\\\frac{c}{d}=1\\\frac{d}{a}=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=d\\d=a\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=d.\)
Lại có: \(S=\frac{a^{1000}}{d^{1009}}.\frac{b^{1019}}{c^{1010}}\)
\(\Rightarrow S=\frac{a^{1000}}{a^{1009}}.\frac{a^{1019}}{a^{1010}}\)
\(\Rightarrow S=\frac{a^{1000}.a^{1019}}{a^{1009}.a^{1010}}\)
\(\Rightarrow S=\frac{a^{2019}}{a^{2019}}\)
\(\Rightarrow S=a^0\)
\(\Rightarrow S=1.\)
Vậy giá trị của biểu thức \(S=1.\)
Chúc bạn học tốt!
Cách này ngắn hơn nè ~~~~
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{5b}=\frac{b}{5c}=\frac{c}{5d}=\frac{d}{5a}=\frac{a+b+c+d}{5\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow a=b=c=d\)
Khi đó: \(S=\frac{a^{1000}}{d^{1009}}.\frac{b^{1019}}{c^{1010}}=\frac{a^{1000}.a^{1019}}{a^{1009}.a^{1010}}=\frac{a^{2019}}{a^{2019}}=1\)
Vậy ...............................
~~~~~~~~~~ Trân trọng ~~~~~~~~
