Question

Cho biểu thức: \(Q=\frac{a+2\sqrt{a}+1}{a-1}.\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-a+\sqrt{a}-1}\right);\)với \(a\ge0;a\ne1\)

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Chứng minh rằng khi a>1 thì giá trị biểu thức Q>1

AI GIẢI VỚI CẦU XIN !!!!!

Answer 1

\(Q=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{2\sqrt{a}}{a\left(\sqrt{a}-1\right)+\sqrt{a}-1}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{2\sqrt{a}}{\left(a+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right)=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\left(\frac{a+1}{\left(a+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{2\sqrt{a}}{\left(a+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\left(\frac{a-2\sqrt{a}+1}{\left(a+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right)=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\left(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\left(a+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{a}+1}{a+1}\)

b/ Đề sai, đề đúng phải là \(a>1\) thì \(Q< 1\)

Do \(a>1\Rightarrow a>\sqrt{a}\Rightarrow\frac{\sqrt{a}+1}{a+1}< \frac{a+1}{a+1}=1\Rightarrow Q< 1\)