Cho biểu thức: \(P=\dfrac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\dfrac{1+2x-2\sqrt{x}}{x^2-\sqrt{x}}\) với \(x>0\) và \(x\ne1\). ất
Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị x sao cho giá trị của P là một số nguyên.
Mình rút gọn được \(P=\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}\) nhưng không biết tìm giá trị nguyên thế nào?
Rút gọn
P=\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}\)
b) tìm giá trị x để \(P\in Z\)
TA có :\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}< \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)
Mà ta lại có:\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)
Ta có \(0< \dfrac{1}{\sqrt{x}+1}< 1\)
\(\Rightarrow0< 1+\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}< 2\)
\(\Rightarrow0< \dfrac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+2}< 2\)
Theo đề ra P đạt giá trị nguyên mà
0 < P <2
=> P=1
HAy\(\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+2=x+\sqrt{x}+1\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\) (ktmdk)
VẬy không giá trị nào của x đề P đạt giá trị nguyên.
Ta có: \(x+\sqrt{x}+1=x+2\cdot\sqrt{x}\cdot0,5+0,25+0,75=\left(\sqrt{x}+0,5\right)^2+0,75\)
Để \(P\in Z\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+2⋮\sqrt{x}+0,5\\\sqrt{x}+2⋮0,75\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1,5⋮\sqrt{x}+0,5\\\sqrt{x}+2⋮0,75\end{matrix}\right.\)
