Question

Cho biểu thức \(A=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\); \(B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\)

a) rút gọn B

b) tìm x để \(M=\frac{A}{B}+\frac{x+5-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)nhận giá trị nhỏ nhất

Answer 1

Lời giải:

a)

ĐKXĐ: $x>0$

\(B=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}+\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}=\frac{x-1+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)

b)

\(M=\frac{A}{B}+\frac{x+5-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}:\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}+\frac{x+5-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}+\frac{x+5-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{x+6}{\sqrt{x}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

$x+6\geq 2\sqrt{6x}\Rightarrow M\geq \frac{2\sqrt{6x}}{\sqrt{x}}=2\sqrt{6}$

Vậy $M_{\min}=2\sqrt{6}$. Giá trị này đạt tại $x=6$