Question

Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 2 và x + y + z = 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = xyz

Answer 1

\(4=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow\sqrt[3]{xyz}\le\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow xyz\le\dfrac{64}{27}\)(BĐT cauchy)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}\)

Answer 2

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\le \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{(4-z)^2}{4}$

$\Rightarrow H\leq \frac{z(4-z)^2}{4}$

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
$z(4-z)\leq \frac{(z+4-z)^2}{4}=4$

$4-z\leq 2$ do $z\geq 2$

$\Rightarrow \frac{z(4-z)^2}{4}\leq \frac{4.2}{4}=2$

Hay $H\leq 2$ 

Vậy $H_{\max}=2$ khi $(x,y,z)=(1,1,2)$