Question

Cho ba số thực a,b,c không âm và thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2+abc=4\) . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \(S=a^2+b^2+c^2\)

Answer 1

Ta có: \(a^2+b^2+c^2+abc=4\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le4\)

Ta lại có: \(4=a^2+b^2+c^2+abc=a^2+b^2+c^2+\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Theo BĐT Cô-si ta có: \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{27}\ge a^2b^2c^2\)

\(\Rightarrow4\le a^2+b^2+c^2+\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27}}\)

Hay: \(\sqrt{\frac{S^3}{27}}\ge4-S\)

\(\Leftrightarrow3\le S\le4\)

\(\Rightarrow Min_S=3\)

\(\Rightarrow Max_S=4\)