Question

Cho a,b,x,y thỏa mãn \(\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}\) và x²+y²=1. cmr \(\dfrac{x^{2006}}{a^{1003}}+\dfrac{x^{2006}}{a^{1003}}=\dfrac{2}{\left(a+b\right)^{1003}}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\right)(a+b)\geq (x^2+y^2)^2=1\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\geq \frac{1}{a+b}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\). Do đó \(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)

\(\Rightarrow \frac{x^{2006}}{a^{1003}}=\frac{y^{2006}}{b^{1003}}=\frac{1}{(a+b)^{1003}}\)

\(\Rightarrow \frac{x^{2006}}{a^{1003}}+\frac{y^{2006}}{y^{1003}}=\frac{2}{(a+b)^{1003}}\)

Do đó ta có đpcm.