Question

cho a,b,c>0 và a+b+c=1

Tìm GTNN của \(A=\frac{a^3}{\left(1-a\right)^2}+\frac{b^3}{\left(1-b\right)^2}+\frac{c^3}{\left(1-c\right)^2}\)

Answer 1

\(\frac{a^3}{\left(1-a\right)^2}+\frac{1-a}{8}+\frac{1-a}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(1-a\right)^2}.\frac{\left(1-a\right)}{8}.\frac{1-a}{8}}=\frac{3a}{4}\)

Suy ra \(\frac{a^3}{1-a^2}\ge\frac{3a}{4}-\frac{\left(1-a\right)}{4}=\frac{4a-1}{4}\)

Tương tự hai BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(A\ge\frac{4\left(a+b+c\right)-3}{4}=\frac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)