Question

cho a,b,c>0 và abc=1

Cmr: \(\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\frac{1}{2}\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt biểu thức vế trái là $P$

Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{1}{(a+1)^2+b^2+1}=\frac{1}{a^2+2a+1+b^2+1}=\frac{1}{a^2+b^2+2a+2}\leq \frac{1}{2ab+2a+2}=\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+a+1}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)(1)\)

Từ $abc=1$ ta suy ra :

\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}=\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{ac}{bc.ac+b.ac+ac}+\frac{1}{ca+c+1}\)

\(=\frac{c}{1+ac+c}+\frac{ac}{c+1+ac}+\frac{1}{ac+c+1}=\frac{c+ac+1}{c+ac+1}=1(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$