§2. Tập hợp

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vũ Tiền Châu

cho a,b,c>0 Chứng minh rằng

\(abc+2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\right]\ge a+b+c\)

Neet
7 tháng 12 2017 lúc 22:02

\(BĐT\Leftrightarrow abc+2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(a^2+b^2+c^2-2a-2b-2c+3\right)\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2\left(a+b+c\right)+3\ge\sqrt{2}\left(a+b+c-abc-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(a-1\right)^2\ge\sqrt{2}\left[a\left(1-bc\right)+b+c-2\right]\)

Theo nguyên lý Diriclet , trong 3 số a-1 ;b-1; c-1 có ít nhất 2 số cùng dấu. Giả sử đó là b-1 và c-1 thì \(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)

hay \(bc-1\ge b+c-2\Leftrightarrow1-bc\le2-b-c\)

Do đó \(VF\le\sqrt{2}\left(1-a\right)\left(b+c-2\right)\)

Giờ chỉ cần chứng minh \(\sum\left(a-1\right)^2\ge\sqrt{2}\left(1-a\right)\left(b+c-2\right)\)

và điều này hiển nhiên đúng theo BĐT AM-GM:

\(\sum\left(a-1\right)^2=\left(1-a\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge\left(1-a\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b+c-2\right)^2\ge\sqrt{2}\left|\left(1-a\right)\left(b+c-2\right)\right|\ge\sqrt{2}\left(1-a\right)\left(b+c-2\right)\)

Vậy BĐT được chứng minh. Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

P/s: có nhiều cách làm


Các câu hỏi tương tự
Dương Thanh Ngân
Xem chi tiết
Thiên Lạc
Xem chi tiết
vy duong
Xem chi tiết
trần trang
Xem chi tiết
meo con
Xem chi tiết
Anh Trâm
Xem chi tiết
trần thị anh thư
Xem chi tiết
Phạm Tất Đạt
Xem chi tiết
Hiệu diệu phương
Xem chi tiết